本書(shū)旨在為數獨愛(ài)好者和學(xué)習者提供數獨游戲的規則和適用性高的解題技巧與解題思路，以幫助讀者了解數獨游戲，享受解題樂(lè )趣。本書(shū)介紹了數獨游戲的定義和規則，逐條說(shuō)明求解數獨問(wèn)題的運算規則及其符號，并輔以應用實(shí)例。本書(shū)還依次歸納了數條普遍適用的運算規則和一定數量的數獨題目，幫助讀者較快適應數獨規則、輕松實(shí)踐上手。

馬中騏，浙江杭州（臨平）人，1940年3月生于上海市。曾就讀于蘭州大學(xué)，是中國科學(xué)院首屆研究生，獲001號博士學(xué)位證書(shū)。曾任中國科學(xué)院高能物理研究所四室研究員、博士生導師、高能物理研究所學(xué)術(shù)委員會(huì )委員和高能物理研究所學(xué)位委員會(huì )主任、高能物理學(xué)會(huì )會(huì )員。1991年被評為“做出突出貢獻的中國博士學(xué)位獲得者”。1992年10月起享受?chē)鴦?wù)院政府特殊津貼。

長(cháng)期以來(lái)一直從事理論物理研究，重點(diǎn)在群論方法及其物理應用方面進(jìn)行科學(xué)研究和教學(xué)工作，已發(fā)表研究論文200余篇。曾在規范場(chǎng)理論、大統一理論、磁單極理論、量子散射理論和Levinson定理、量子群理論及其在物理中的應用、群論方法在量子理論中的應用等方向開(kāi)展科研工作。重要的科研成果有量子N體系統轉動(dòng)自由度的分離、Levinson定理的證明與推廣、量子群的研究等。諾貝爾獎獲得者楊振寧教授曾評價(jià)馬中騏的研究成果是能留得下來(lái)的工作。

馬中騏博士曾先后三次獲得中國科學(xué)院科技進(jìn)步二等獎，獲得中國科學(xué)院一九九六年度教學(xué)成果獎二等獎（群論教材），獲得2004~2005年度王淦昌獎。

出版的圖書(shū)包括《群論及其在物理中的應用》、《楊-巴克斯特方程和量子包絡(luò )代數》、《物理學(xué)中的群論》、《群論習題精解》、Yang-Baxter equation and quantum enveloping algebras等。

第 1 章 數獨及其運算規則 ··········································1

第 2 章 數獨運算規則應用舉例 ·····································20

2.1 數獨題目 1 ··················································20

2.2 數獨題目 2 ··················································23

2.3 數獨題目 3 ··················································27

2.4 數獨題目 4 ··················································30

2.5 數獨題目 5 ··················································33

2.6 數獨題目 6 ··················································37

2.7 數獨題目 7 ··················································41

2.8 數獨題目 8 ··················································45

2.9 數獨題目 9 ··················································51

2.10 數獨題目 10 ················································55

第 3 章 格圈、格鏈及其應用 ········································56

3.1 格圈和格鏈 ··················································56

3.2 廣義格鏈 ·····················································73

3.3 排除法 ·······················································89

第 4 章 數獨世界難題 ················································ 103

4.1 數獨難題 1 ·················································· 105

4.2 數獨難題 2 ·················································· 111

4.3 等價(jià)的數獨題目 ············································ 116

附錄一 移棋相間法 ··················································· 118

附錄二 天平秤球 ······················································ 121

附錄三 確定帽子顏色 ················································ 129

【前言】

數獨是一種邏輯推理類(lèi)數字填充游戲. 雖然這種游戲和數學(xué)家萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler, 1707—1783 年)研究過(guò)的拉丁方(Latin square) 有一定關(guān)系. 但它最早作為一種游戲形式出現, 可以追溯到 20 世紀 70 年代. 當時(shí)在美國紐約的一本益智雜志 Math Puz-zles and Logic Problems 上出現了一種稱(chēng)為填數字 (number place) 的游戲. 1984 年一位日本學(xué)者把它傳到日本, 用日文漢字取名為 “數獨”(Su Doku). 1997 年中國香港高等法院的新西蘭籍法官高樂(lè )德 (Wayne Gould) 在《泰晤士報》(The Times) 上發(fā)表了這種游戲, 該游戲很快便風(fēng)靡英國, 并由此傳遍全世界. 20 世紀 90 年代國內部分益智類(lèi)書(shū)籍開(kāi)始刊登數獨. 南海出版社在 2005 年出版了《數獨 1》和《數獨 2》,數獨由此在國內廣泛傳播.

國際上, 由世界智力謎題聯(lián)合會(huì )組織的世界數獨錦標賽 (World Sudoku Championship) 每年舉行一次, 首屆于 2006 年在意大利的盧卡 (Lucca) 舉行, 第八屆于 2013 年在北京舉行. 北京市數獨運動(dòng)協(xié)會(huì )作為世界智力謎題聯(lián)合會(huì )的分支, 也每年組織一次中國數獨錦標賽.比賽包括標準數獨和變形數獨兩類(lèi). 標準數獨和變形數獨雖然規則不同, 但解法類(lèi)似. 本書(shū)只研究標準 (經(jīng)典) 數獨, 以下稱(chēng)數獨.

因數字排列方式千變萬(wàn)化, 數獨吸引了大量愛(ài)好者參與. 數獨有助于老年人加強思維活動(dòng), 防止智力退化, 也有助于兒童和年輕人訓練邏輯推理和觀(guān)察分析的能力. 所有參加游戲的人都可以從游戲中獲得成就感和愉悅感. 本書(shū)附錄介紹了三個(gè)游戲, 既可以滿(mǎn)足愛(ài)好者玩數字游戲的需要, 也可以訓練愛(ài)好者的邏輯推理能力.

隨著(zhù)數獨的推廣, 人們總結了大量解題技巧, 總體而言都是根據已有數字, 按照數獨的基本規定, 通過(guò)推理和分析, 在空格中填充相應的數字. 其中, 有的方法簡(jiǎn)單直觀(guān), 但適用范圍有限? 有的方法有比較復雜的推理, 需要一定的記憶能力, 掌握起來(lái)有些困難.

本書(shū)試圖把已有的各種繁雜的數獨解題方法系統化, 通過(guò)理論物理學(xué)家的思維方式, 歸納成六條清晰易懂的運算規則, 幫助讀者學(xué)會(huì )求解一般數獨題目的方法. 然后引入格圈和格鏈的概念, 導出本書(shū)獨創(chuàng )的數獨運算技巧, 幫助讀者求解較難的數獨題目. 本書(shū)總結的這些方法都用適當的符號來(lái)標記, 從而可以把求解數獨題目的過(guò)程像棋譜一樣記錄下來(lái), 大大簡(jiǎn)化了解釋的語(yǔ)言. 原則上說(shuō), 棋譜完全記錄了下棋的過(guò)程, 但大部分讀者在閱讀棋譜時(shí), 還是愿意在棋盤(pán)上移動(dòng)棋子以便于理解下棋的過(guò)程. 記住九宮圖的填數要比記住棋譜困難得多, 因此標記方法的數獨符號還需要九宮圖的配合, 才能幫助愛(ài)好者真正理解數獨題目的求解過(guò)程.

國內發(fā)行的有關(guān)數獨的圖書(shū), 多數是數獨題集. 事實(shí)上, 在網(wǎng)絡(luò )高度發(fā)展的今天, 各類(lèi)難易程度不一的題目都可以輕易地從網(wǎng)上找到. 本書(shū)推薦三個(gè)網(wǎng)站供讀者參考: ①https://sudoku.game/?②https://www.websudoku.com/?level=4? ③https://sudoku.com/evil/.

作為一本介紹數獨的書(shū), 本書(shū)先介紹什么是數獨, 然后逐條說(shuō)明求解數獨題目的運算規則及其符號, 并輔以例題. 第一章歸納了六條運算規則. 第二章列舉了 10 道普通的數獨題目, 并介紹了運用這六條運算規則進(jìn)行求解的詳細過(guò)程. 作者相信, 大部分讀者很容易掌握這六條運算規則, 并能將其用于求解常見(jiàn)的數獨題目. 第三章引入格圈和格鏈的概念, 歸納了四條新的運算規則. 通過(guò)一些例題解釋新運算規則的符號及其使用方法, 幫助愛(ài)好者學(xué)會(huì )獨立地求解較難的數獨題目. 本書(shū)的解法強調從數獨題目的整體 (全圖) 出發(fā), 通過(guò)運算規則和技巧, 簡(jiǎn)化各空格的允許填數, 獲得數獨終盤(pán) (答案), 這種方法稱(chēng)為整體解法.

英國《每日郵報》(The Daily Mail) 2012 年 6 月 30 日的一篇報道介紹了芬蘭數學(xué)家因卡拉 (Arto Inkala) 花費 3 個(gè)月設計出的聲稱(chēng)是迄今世界上 “難度最大的數獨題”, 并把此題比作數獨題的 “珠穆朗瑪峰”. 此題只有一個(gè)答案. 因卡拉教授說(shuō)只有思考能力最快、頭腦最聰明的人才能破解這個(gè)游戲 (only the quickest and brightest minds would be able to solve it). 2007 年因卡拉教授還出版了一本專(zhuān)著(zhù) (AI Escargot ——The most difficult Sudoku puzzle) , 其中提出了另外一道也聲稱(chēng)是世界上 “最難的數獨題”.

針對類(lèi)似芬蘭數學(xué)家因卡拉教授設計的極少數數獨難題, 本書(shū)第四章采用分題的方法求解, 并以因卡拉教授設計的兩道 “數獨世界難題” 為例, 詳細介紹了分題求解的過(guò)程, 說(shuō)明只要學(xué)習和掌握了本書(shū)提出的這套解法, 不需要專(zhuān)門(mén)的訓練, 任何人都可以獨立求解各類(lèi)數獨題目, 甚至包括難度相當大的題目. 作者無(wú)意引導讀者去鉆研數獨難題, 只是想說(shuō)明, 即使是人為設計的數獨難題, 只要充滿(mǎn)信心, 方法得當, 一般人也是可以求解的.

為了幫助讀者理解和領(lǐng)會(huì )本書(shū)的數獨運算規則, 作者制作了一套數獨解法講課視頻, 全套共九集, 每集時(shí)長(cháng)約半小時(shí), 包括第一章一集、第二章兩集、第三章四集和第四章兩集. 掃描書(shū)后二維碼即可觀(guān)看視頻.

近日, 作者從網(wǎng)上查知電子科技大學(xué)出版社 2013 年出版的《輕松速解數獨——陳氏解法》一書(shū), 作者陳金康先生在該書(shū)中介紹的解法在解因卡拉教授 2012 年設計的數獨世界難題時(shí)需要經(jīng)過(guò)多次復雜的猜測且篇幅較大. 本書(shū)所提出的數獨解法則能夠在一定程度上更加簡(jiǎn)單明了地表達數獨世界難題的解題過(guò)程.

感謝泰康之家所提供的優(yōu)越的工作環(huán)境, 以及與老年朋友的良好討論機會(huì ). 感謝泰康之家居民潘愛(ài)蘭老師和新加坡世界科學(xué)出版社 (World Scientific) 編輯潘素起女士提供的因卡拉教授設計的兩道“數獨世界難題”, 以及一直給予的支持和鼓勵. 感謝泰康之家居民黃惟崎老師、吳先敏老師、宋建云老師在數獨問(wèn)題上的交流和討論. 感謝妹妹馬中芳老師提供的若干道數獨題目和有益的討論. 感謝妻子李現老師一直以來(lái)的全力支持和鼓勵, 無(wú)微不至的關(guān)愛(ài)和對本書(shū)寫(xiě)作過(guò)程的認真討論及研究.

數獨為一種邏輯游戲，注重邏輯與推理。本書(shū)是數獨研究者、愛(ài)好者和初學(xué)者由淺入深學(xué)習數獨的數學(xué)普及讀物。作為介紹數獨的智力游戲的圖書(shū)，相比較于市面上其他以題庫為主的同類(lèi)書(shū)籍，本書(shū)表現出較強的學(xué)術(shù)深度和研究?jì)r(jià)值，值得一讀！

第1章 數獨及其運算規則

所謂數獨, 就是在九宮圖中n個(gè)格子內預先填入確定的數, 稱(chēng)為提示數 (clue). 凡是填有確定數x的格子稱(chēng)為定格x, 簡(jiǎn)稱(chēng)定格. 凡是填數還沒(méi)有確定的格子, 統稱(chēng)為空格.

一道合格 (proper) 的數獨題目, 在給出n個(gè)提示數后, 通過(guò)各種運算規則的操作, 逐步減少數獨全圖中各空格的允許填數, 把空格逐步變成定格, 最后一定可以找到唯一一個(gè)數獨終盤(pán). 存在多于一個(gè)不相同數獨終盤(pán)的數獨題目是不合格的數獨題目. 如果在九宮圖同一單元中重復出現填數相同的定格, 或者一個(gè)空格的允許填數減少到零, 則說(shuō)明這個(gè)數獨題目出現矛盾, 這也是不合格的數獨題目. 實(shí)踐證明, 提示數n至少要有 17 個(gè). 至今還沒(méi)有發(fā)現一道提示數少于 17個(gè)的合格的數獨題目. 本書(shū)不討論如何找出合格的數獨題目, 而專(zhuān)門(mén)討論對于合格的數獨題目, 如何找到數獨終盤(pán).

第4章 數獨世界難題

對于難題非常大的題目, 如本節介紹的所謂數獨世界難題, 則需要反復使用排除法. 此時(shí)只有把這些要排除的允許填數適當編號, 才能使計算有條理地進(jìn)行. 這就是本章要介紹的分題法.

附錄一 移棋相間法

楊振寧先生于 2019 年在《數學(xué)文化》上發(fā)表的文章《許寶騄和“移棋相間法”》介紹了 1940 年前后西南聯(lián)大物理系和數學(xué)系的師生們喜歡玩的一個(gè)中國古代游戲, 即移棋相間法. 楊先生稱(chēng)其在《道德文章垂范人間: 紀念許寶騄先生百年誕辰》一書(shū)第 316 頁(yè)上看到一篇俞潤民的文章, 文章說(shuō)許曾發(fā)現求解 “移棋相間法” 的 “合四為一之新律”, 楊先生猜想此新律就是自己在美國發(fā)現的 modulo4 方法. 于是重新研究此游戲, 得到全解, 并撰文發(fā)表.

看到楊先生的文章后, 作者曾和楊先生在網(wǎng)上討論該游戲, 并對其稍作推廣. 楊先生鼓勵作者撰文發(fā)表. 作者認為在本書(shū)附錄介紹這個(gè)游戲較為適宜.